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面向铜配料优化的改进多因子差分进化算法

doi: 10.7641/CTA.2025.40475

张雪瑞，韩中洋，赵珺，王伟

大连理工大学控制科学与工程学院辽宁大连 116081

基金项目: 国家自然科学基金项目(62394345)资助

详细信息

作者简介

张雪瑞博士研究生,研究方向为智能优化理论与应用、流程工业生产计划与优化调度等,E-mail: 11909029@mail.dlut.edu.cn;

韩中洋副教授,博士生导师,研究方向为复杂系统建模控制与优化、流程工业生产计划与优化调度等,E-mail: hanzhongyang@dlut.edu.cn;

赵珺教授,博士生导师,研究方向为工业人工智能、工业能源系统优化、能源云平台综合管控、大数据分析与机器学习、复杂工业系统建模等,E-mail: zhaoj@dlut.edu.cn;

王伟教授,博士生导师,研究方向为复杂工业过程的建模、控制与优化、流程工业生产计划与优化调度、知识自动化等,E-mail: wangwei@dlut.edu.cn.

通信作者

韩中洋，E-mail: hanzhongyang@dlut.edu.cn.

Improved multifactorial differential evolution algorithm for copper ingredient optimization

ZHANG Xue-rui ， HAN Zhong-yang ， ZHAO Jun ， WANG Wei

School of Control Science and Engineering, Dalian University of Technology, Dalian Liaoning 116081 , China

Funds: Supported by the National Natural Science Foundation of China (62394345)

摘要

作为铜冶炼生产的关键基础, 配料计划直接关系到后续过程的连续稳定和企业经济效益. 考虑到现有方法给出的配料计划在原料利用率等指标上的不足, 本文建立了以最大化资源利用率和配料一致性为目标的铜工业配料计划优化模型, 并提出改进的多因子差分进化算法求解. 针对基本多因子差分进化算法易早熟收敛、复杂约束导致的大量不可行解等挑战, 本文首先设计了基于正余弦算法的变异策略, 以兼顾算法跨任务知识迁移与全局搜索和局部开发的能力; 其次, 引入Levy最优扰动策略, 以提高算法在进化后期种群的多样性, 避免陷入局部最优. 此外, 提出具有较低计算成本的不可行解修复策略, 保证了算法高效搜索; 最后, 基于国内某铜业集团真实数据的仿真实验和多任务基准测试集的实验结果证明, 与其他方法相比, 本文所提模型和方法可显著提高配料计划的资源利用率、配料一致性等指标, 可为铜业稳定生产提供良好支撑, 并在复杂的多任务基准问题中呈现出良好的稳定性.

关键词

配料优化 / 进化算法 / 多任务优化 / 约束处理

Abstract

As a key foundation of the entire production process of copper products, ingredient plan is directly related to the continuous stability of the subsequent process and the economic benefits of the enterprise. Considering the unsatisfied resource utilization of ingredient plans provided by existing methods, an ingredient optimization model with the objective of maximizing resource utilization and ingredient consistency is established. Then, an improved multifactorial differential evolution algorithm is proposed. To solve premature convergence and infeasible solutions caused by complex constraints in the traditional multifactorial differential evolution algorithm, the improved algorithm first designs a mutation strategy based on the sine cosine algorithm to balance cross task knowledge transfer, global search, and local development capabilities of the algorithm. Secondly, the Levy optimal perturbation strategy is introduced to improve the diversity of solutions, and prevent the algorithm from getting stuck in local optima. In addition, a repair strategy for infeasible solutions with lower computational cost is proposed to ensure search efficiency. Finally, simulation experiments based on real data from a domestic copper industry and multitask benchmark problems demonstrate that compared with other methods, the model and method proposed in this paper can significantly improve the resource utilization rate and consistency of ingredient plan, providing good support for stable production in the copper industry. And the proposed algorithm exhibits good stability in complex multitask benchmark problems.

Keywords

ingredient optimization / evolutionary algorithm / multitask optimization / constraint handling.

1 引言 2 问题描述 3 铜配料计划优化模型 3.1 决策变量 3.2 目标函数 3.3 约束条件 4 MSMFDE算法 4.1 基于SCA的差分变异策略 4.2 基于Levy飞行的最优扰动策略 4.3 修复策略 5 实验结果与分析 5.1 实验设置 5.1.1 实验数据 5.1.2 对比方法 5.1.3 参数设置 5.1.4 评价指标 5.2 实验结果 5.2.1 模型对比 5.2.2 算法对比 6 结论与展望

1 引言

配料计划是生产中制定的一系列关于原料配比、使用及调整的详细方案. 工业现场目前大多采用人工计算方式，存在因主观性较强而偏离最优值等问题，原料利用率仍有提升空间. 不合理的配比甚至可能导致生产中断，影响经济效益.

针对工业配料优化问题，国内外专家学者进行了多方面的研究. 针对烧结配矿优化问题，文献 ^[1] 以混合料成本和铁含量为目标函数，建立了烧结配矿优化模型. 结合聚类算法和组合优化，文献 ^[2] 解决了铁矿预配料调度问题. 文献 ^[3] 应用随机规划方法寻找最佳的氧化铝配比，以提高生产率. 文献 ^[4] 构建了铜带配料多目标优化模型，综合考虑了多种目标以实现铜带生产的最佳效益. 文献 ^[5] 考虑铜闪速熔炼的多个影响因素，提出了多目标配料优化模型. 上述文献为本文研究的配料计划优化问题提供了重要参考. 上述模型在单张配料单的合理性研究上有所建树，但尚未关注到多张配料单的一致性问题.

较高的原料利用率表明配比的合理性，从而反映出配料一致性的提升. 而配料一致性的实现有助于减少频繁的配料单切换，提高原料利用率，因此两个优化目标是协同关系. 而多任务优化（multitask optimization，MTO）^[6] 算法能同时考虑多个目标，通过协同优化的方式找到一组在多个目标之间取得平衡的最优解集. 多因子进化算法（multifactorial evolution algorithm，MFEA）是文献 ^[7] 提出的解决 MTO问题的进化算法，能够同时处理多个相关的优化任务，利用任务间的潜在关联性来提高整体的优化效率. 多因子差分进化（multifactorial differential evolution，MFDE）^[8] 作为其变体，融合了差分进化（differential evolution，DE）算法的变异和交叉算子和MFEA的跨任务知识转移，实现了多个优化任务的高效搜索. 为了MFDE中知识转移的有效变异，文献 ^[9] 提出了一种DE/best/1+ ρ的新变异策略，以提高算法的收敛速度. 文献 ^[10] 提出基于最优变换策略的选型交配策略，来提高MFDE 的局部搜索能力. 文献 ^[11] 开发了一种差分向量共享方法，用于增强MFDE中的知识迁移能力. 文献 ^[12] 提出的差分迁移策略提高了迁移信息的利用率，帮助算法快速找到有利的搜索方向. 文献 ^[13] 提出一种具有混合知识迁移的策略，以规避知识的负迁移. 但这些研究在改善MFDE的性能时，未兼顾提升跨任务知识迁移与全局搜索和局部开发能力的平衡，而这对算法的收敛速度和解的质量有重要影响，因此这方面的研究亟待进一步完善.

此外，工业生产中的各种限制，如资源、混合矿成分等，会缩小配料计划优化模型的可行域，导致出现大量不可行解，因此优化过程中中需结合约束处理技术（constraint handling technique，CHT）来应对不可行方案. 现有的 CHT，如，罚函数法 ^[14]、多目标优化方法 ^[15]、ε-约束 ^[16] 等，在解决可行域较小的配料优化问题时，需花费大量的计算资源搜索可行解，从而降低了算法的性能. 而修复策略通过直接修正不可行解，一定程度上可以降低计算成本，避免无效搜索. 因此，在求解配料计划优化模型时，可设计修复策略，以较小的计算成本寻找可行解.

为解决上述问题，本文以铜工业为例，建立了兼顾原料利用率和配料一致性优化目标的配料计划优化模型，并设计了多策略多因子差分进化（multi-strategy MFDE，MSMFDE）算法求解该模型. 首先，根据模型的多任务协同优化特点，提出基于正余弦算法（sine cosine algorithm，SCA）的差分变异策略，使算法兼顾跨任务知识迁移与全局搜索和局部开发能力. 随后，引入Levy最优扰动策略，增加了算法的随机性和多样性，进一步提高算法性能. 最后，设计了修复策略，以尽可能小的成本处理进化过程中的不可行解. 为验证该算法的有效性，本文在国内某铜业集团真实数据和多任务基准测试集中进行仿真实验，结果表明，本文提出的模型和方法所得结果优于其他方法，对于企业经济效益提升大有裨益，并具有良好的稳定性和广泛适用性.

2 问题描述

铜工业配料计划一般根据当前铜精矿库存连续编制多张配料单，直至当前矿种无法再配为止. 该过程可按照时间顺序分解成若干相互联系的阶段，每一个阶段都要从允许的状态集合中进行决策，即在每张配料单的多个可行解中做出选择. 而每做一次决策就得到一张配料单，当所有决策做完之后，就得到一个配料计划. 因此，配料计划优化是一个多阶段决策过程.

图1展示了铜配料计划的优化过程. 图中第1行的多个矩形代表 M 种铜精矿类型，x_k_，_n表示第 k 阶段第n种配料方案. 在满足生产需求的条件下，结合现有库存，配料计划优化模型在每个阶段中的n种方案里，确定一个资源利用率最大和配料一致性最高的配料单，其比例记作

r_{k} = {\{r_{k ， m}\}}_{m = 1}^{M}

. 各个阶段确定的配料单构成的配料计划，就是最优配料计划.

图1铜配料计划优化过程

Fig.1The optimization process of copper ingredient plan

3 铜配料计划优化模型

3.1 决策变量

铜配料计划优化模型在每个阶段做出决策，各个阶段确定的资源利用最大，且配料一致性最高的配料单构成的配料计划就是最优配料计划. 因此，模型的决策变量是每个阶段的配料单比例. 不妨假设某配料计划包含k张配料单，有M种铜精矿参与配料，则每个阶段的决策变量表示

x_{k} = {\{x_{k ， m}\}}_{m = 1}^{M} ， x_{k ， m} \in Z

，其中x_k_，_m是第m种铜精矿的比例.

3.2 目标函数

所建模型综合考虑资源利用率最大化和配料一致性最高两个目标，从而提高铜精矿的整体利用率，并保证炉况稳定.

1）资源利用率最大化.

不妨将目标函数转化为最小化，资源利用率最大化表明剩余精矿量最小化，可表示如下:

f_{k, 1} = \sum_{m = 1}^{M} S_{m} - \sum_{k = 1,2, \dots} C_{k} (x_{k}),

(1)

式中: f_k_，1 为第 k 个阶段配料后铜精矿的剩余库存，S_m表示第m种铜精矿的原始库存，C_k为第k个阶段铜精矿的使用量.

2）配料一致性最大化.

配料一致性是指相邻两张配料单同种铜精矿的配比差异相对较低，因此配料一致性最大化的目标函数可转化为配料单之间的差异最小化，即

f_{k, 2} = {‖x_{k} - r_{k - 1}‖}_{2}

(2)

3.3 约束条件

1）参与配料的铜精矿成分对闪速熔炼工艺有较大的影响，因此在混合矿中各成分的品要控制在一定范围内. 混合矿各成分的百分比计算公式如式（3）所示:

ω_{i, m i n} ⩽ \frac{ω_{i}^{T} x_{k}}{100} ⩽ ω_{i, m a x}, i \in I,

(3)

式中: I 为铜精矿中的元素种类集合，I = Cu，S，Au，Ag，Al₂O₃，F⁻，Sb，Bi，CaO，MgO，As，Pb，Zn，Ni，Cd，Se，Hg; ω_i_，min，ω_i_，max分别为混合矿中元素i含量的上下限; ω_i=

{\{ω_{m ， i}\}}_{m = 1}^{M}

表示混合矿中元素i的含量.

2）对于设定的冰铜品位参数，混合矿中的硫铜比是配料的重要参数，控制适当的硫铜比是控制闪速炉热平衡的重要手段，其约束用式（4）表示:

ω_{S / C u, m i n} ⩽ \frac{ω_{S / C u}^{T} x_{k}}{100} ⩽ ω_{S / C u, m a x}, i \in I,

(4)

式中: ω_S_/_Cu，min，ω_S_/_Cu，max表示混合矿中硫铜比的最小值和最大值，ω_S_/Cu = {ω_S_，m/ω_Cu，_m

}_{m = 1}^{M}

为混合矿中的硫铜比.

3）每张配料单中，任一精矿的投入总量不得超过规定数量a_max，

S_{k, m} \times \frac{x_{k, m}}{100} ⩽ a_{m a x}

(5)

式中S_k_，_m为第k阶段开始时第m种铜精矿的库存.

4）实际的生产操作中，相邻两张配料单的切换时间小于t_c时，后一张配料单将被视为无效配料单，将被舍弃，因此以下约束:

t_{c} \times a_{h r} \times \frac{x_{k, m}}{100} ⩽ S_{k, m},

(6)

式中a_hr为单位时间内投入的混合矿量.

5）中间产物渣精矿和水淬渣的配比和不得超过 r_mp，即

x_{k, r s} + x_{k, s c} ⩽ r_{m p}

(7)

6）混合矿中的各精矿的配比和为100，即

\sum_{m = 1}^{M} x_{k, m} + x_{k, r s} + x_{k, s c} = 100 .

(8)

4 MSMFDE算法

本文模型需处理两个相互协同的优化目标，并且高维整数变量导致解空间呈指数增长，约束间的依赖和冲突进一步加剧了解空间的离散化，使其成为一个大规模的约束整数规划问题，对算法性能提出较高要求. 尽管MFDE算法 ^[17] 可利用跨任务知识迁移实现上述模型的协同优化，但仍存在探索与开发的平衡能力不足，易早熟收敛及约束处理技术（CHT）缺乏等问题.

针对上述挑战，本节提出了MSMFDE算法，从变异算子、扰动机制和修复策略等方面改进MFDE算法，实现了算法的高效寻优.

4.1 基于SCA的差分变异策略

MFDE算法使用DE的差分变异算子生成子代，实现跨任务知识迁移. 具体而言，父代个体按照随机交配概率r_mu执行以下操作（以DE/Rand/1 ^[18] 为例）:

v_{n}^{g} = \{\begin{matrix} x_{n 1, l 1}^{g} + F (x_{n 2, l 2}^{g} - x_{n 3, l 2}^{g}), α_{1} < r_{m u}, \\ x_{n 1, l 1}^{g} + F (x_{n 2, l 1}^{g} - x_{n 3, l 1}^{g}), 其 他, \end{matrix}

(9)

式中: g是当前进化代数;

v_{n}^{g} = {\{v_{n ， d}^{g}\}}_{d = 1}^{D}

是变异后的子代个体; D代表决策变量维度;

x_{n 1 ， l 1}^{g} ， x_{n 2 ， l 2}^{g} ， x_{n 3 ， l 2}^{g}

为随机选择的父代个体; l₁，l₂表示不同的任务序列号; α₁为（0，1）之间的随机数; F ∈ [0，1]为控制差分向量幅度的比例因子.

然而，上述方式未能充分考虑跨任务知识迁移与全局搜索和局部开发的平衡，尤其是两个优化任务相似度较高时，算法可能收敛到相同区域，降低了任务间知识共享质量. 针对上述问题，本文提出了基于 SCA算法的差分变异策略，充分利用不同任务对应的个体信息，扩大搜索范围，提高算法的性能.

SCA算法是文献 ^[19] 利用正弦函数和余弦函数的周期性和波动性来平衡算法的全局搜索能力和局部开发能力，基于SCA算法的差分变异策略如下式所示:

v_{n, d}^{g} = \{\begin{matrix} x_{n, d}^{g} + r_{1} s i n r_{2} (r_{3} x_{d}^{g, b 1} - \\ x_{n, d}^{g}) + r_{4} (x_{d}^{g, b 2} - x_{n 1, d}^{g}), r_{5} < 0.5, \\ x_{n, d}^{g} + r_{1} c o s r_{2} (r_{3} x_{d}^{g, b 1} - \\ x_{n, d}^{g}) + r_{4} (x_{d}^{g, b 2} - x_{n 1, d}^{g}), r_{5} ⩾ 0.5, \end{matrix}

(10)

式中:

x_{d}^{g ， b 1} ， x_{d}^{g ， b 2}

分别是任务l₁和l₂最优个体维度d上的值，且l₁≠ l₂;

x_{n 1 ， d}^{g}

是随机选择的技能因子为l₂的个体

x_{n 1}^{g}

在维度d上的值，r₅是（0，1）之间的随机数.

图2是r₁sin r₂ 的递减过程（r₁ = 2），图3和图4展示了图2递减过程中，

x_{n}^{g}

在不同r3取值时的进化路径: r₃ <1和r₃ >1两种情况，其进化路径按照

\vec{a} ， \vec{c} ， \vec{b}

的方向依次变异得到新个体v_n. 根据图3–4，可以看出.

图2r₁sin r₂的递减过程（r₁ = 2）

Fig.2The decreasing process of r₁sin r₂ (r₁ = 2)

图3

x_{n}^{g}

的进化路径（r₃ <1）

Fig.3The evolutionary path of

x_{n}^{g}

(r₃ <1)

图4

x_{n}^{g}

的进化路径（r₃ >1）

Fig.4The evolutionary path of

x_{n}^{g}

(r₃>1)

1） r₃ <1: 若r₁sin r₂（或r₁cos r₂）∈[−2，1]∪^[1，2]，个体是朝着同任务最优个体的反方向进行全局搜索; 若r₁sin r₂（或r₁cos r₂）∈ [−1，1]，个体是围绕同任务精英个体进行局部开发. 随后，再通过跨任务的精英个体信息交流得到新个体v_n. 因此，个体在变异过程中兼顾了跨任务知识迁移与全局搜索和局部开发的能力.

2）r₃ >1: 与r₃ <1不同的是，个体在r₁sin r₂（或r₁cos r₂）∈ [−2，1] ∪ ^[1，2]时进行局部开发，r₁sin r₂（或r₁cos r₂）∈ [−1，1]时进行全局搜索，最后进行任务间信息交流，同样实现了跨任务信息交流–探索–开发的平衡.

4.2 基于Levy飞行的最优扰动策略

针对MFDE算法在进化后期种群多样性导致的停滞问题，本文引入基于Levy飞行的 ^[20] 最优扰动策略增加种群的多样性，其扰动方式如下:

x_{n e w}^{g, b 1} = x^{g, b 1} + λ \otimes s \times x^{g, b 2},

(11)

s = \frac{u}{| v |^{\frac{1}{β}}},

(12)

σ_{u} = {(\frac{Γ (1 + β) \times s i n \frac{π β}{2}}{Γ (\frac{1 + β}{2}) \times β \times 2^{(\frac{β - 1}{2})}})}^{\frac{1}{β}},

(13)

σ_{v} = 1,

(14)

式中: λ =

{(1 - \frac{g}{G})}^{η} ， η = 2 ，

是调节扰动幅度的参数. s为随机游走步长，β为（0，2）的随机数，通常取1.5，其决定Levy分布的形状， u和v是两个服从正态分布的随机数，

u \sim (0 ， σ_{u}^{2}) ， v \sim (0 ， σ_{v}^{2})

. 进化初期，较小的λ值使种群的精英个体以小步长进行跨任务搜索，随着进化次数增加，大步长突变实现全局探索，增加种群的多样性，帮助算法跳出局部最优.

此外，在多任务环境下，扰动策略生成的新个体在各任务上表现各异，为提高计算效率，新个体的评估仅在原个体对应的任务上进行. 随后，根据评估结果，采用贪婪策略保留精英个体，

x_{new}^{g} = \{\begin{matrix} x_{new}^{g}, F (x_{new}^{g}) < F (x^{g, b}), \\ x^{g, b}, F (x_{new}^{g}) ⩾ F (x^{g, b}), \end{matrix}

(15)

式中:

x_{new}^{g}

是被保留的新个体，x^g^，^b为扰动前的原个体，F（·）为x^g^，^b对应任务的目标函数.

4.3 修复策略

针对配料计划优化模型中大量约束导致的不可行个体

x_{n}^{g}

，本文提出以下修复策略:

步骤 1 取整.

{\hat{x}}_{n}^{g} = i n t (x_{n}^{g})

步骤 2 检查

{\hat{x}}_{n}^{g}

的可行性. 如果

{\hat{x}}_{n}^{g}

可行，则修复结束，输出

{\hat{x}}_{n}^{g}

; 否则，转至步骤3.

步骤 3 求解修复模型. 该模型以式（16）为目标函数，式（3）–（8）和式（17）–（20）为约束条件，模型最优解

x_{n}^{g ， *}

即为满足条件的可行解. 修复模型是线性整数规划模型，可通过精确算法高效求解，在保证解的质量的同时未增加过多计算负担.

\begin{matrix} m i n \sum_{d \in S_{1}} (x_{d} - l_{d}) + \sum_{d \in S_{2}} (u_{d} - x_{d}) + \sum_{d \in S_{3}} δ_{d}, \\ s . t . δ_{d} ⩾ x_{d} - {\hat{x}}_{n, d}^{g}, \\ δ_{d} ⩾ {\hat{x}}_{n, d}^{g} - x_{d}, \end{matrix}

(16)

S_{1} = \{d ∣ {\hat{x}}_{n, d}^{g} = l_{d}\}, S_{2} = \{d ∣ {\hat{x}}_{n, d}^{g} = u_{d}\},

(17)

S_{3} = \{d ∣ l_{d} < {\hat{x}}_{n, d}^{g} < u_{d}\}, x_{d} \in Z .

(18)

基于上述改进，算法1（见表1）展示了完整的MSMFDE算法流程. 算法的初始种群P^（0）中每个个体

x_{n}^{(0)}

都在统一的搜索空间[0，1]^D内随机生成，然后需在所有任务上评估以分配技能因子，即每个个体表现最优的任务编号，之后子代通过继承其技能因子实现单任务评估，以达到节省计算负担的目的. 具体而言，根据P^（0）在任务l上的因子成本

{\{φ_{l}^{n}\}}_{l = n}^{N}

可获得个体

x_{n}^{(0)}

在所有任务上的因子排名，排名最小的任务序号即为个体

x_{n}^{(0)}

的技能因子τ_n.

表1算法1: MSMFDE算法框架

Table1Algorithm 1: Framework of MSMFDE algorithm

进化过程中，算法首先基于式（10）的差分变异策略生成候选解，再通过交叉算子生成子代种群，实现跨任务知识迁移. 其中交叉算子具体实现方式如下:

u_{n, d}^{g + 1} = \{\begin{array}{l} v_{n, d}^{g + 1}, α_{2} ⩽ r_{cr} 或 d = r_{d}, \\ x_{n, d}^{g}, 其他, \end{array}

(19)

式中:

u_{n ， d}^{g + 1}

是交叉后的新个体， α₂取（0，1）之间的随机数，r_cr为交叉概率，r_d是[1，D]之间的随机整数. 子代种群在继承的任务上评估后与父代合并，按标量适应度排序并保留最优个体形成新种群. 最后，执行Levy 最优扰动策略，以打破算法停滞状态. 上述步骤重复执行，直至达到停准则. MSMFDE在求解配料计划优化模型需执行多个阶段，每个阶段的任务数L = 2，对应f_k_，1和f_k_，2，直至现有库存不足以支撑新配料单的生成为止.

5 实验结果与分析

本节基于实际数据的实验结果，验证了所提出的配料计划优化模型和MSMFDE算法的有效性. 实验是在具有64 GB RAM的Intel Xeon Gold 2.1 GHz工作站上使用Python v3.10实现的.

5.1 实验设置

5.1.1 实验数据

本研究基于国内某铜业集团矿仓2023年10月的库存数据，结合生产需求制定了当月配料计划. 混合矿各元素品位范围和其他参数分别列于表2–3中.

表2混合矿中各元素的品位上下限

Table2Upper and lower boundary for elements in mixed concentrates

表3配料计划模型参数

Table3Parameters of the ingredient plan model

5.1.2 对比方法

本文设置两组对比实验:

1）模型对比. 与不考虑配料一致性的配料计划优化模型对比，验证稳定投料对提高资源利用率的效果.

2）方法对比. 与多因子差分进化（MFDE）^[8]、基于最优解变换的多因子差分进化（MFDE with optimabased transformation，MFDE-OBT）^[10]、多因子差分进化–最优/1 +ρ（MFDE with best/1 +ρ，MFDE/best/1 + ρ）、带差分向量共享机制的多任务差分进化（multitasking DE with difference vector sharing mechanism，MDE-DVSM）^[11]、基于超粒子引导的自适应知识迁移的多任务差分进化算法（MFDE based on super-particle guided adaptive knowledge transfer，SAKT-MFDE）^[12]、带混合知识迁移策略的多因子差分进化（MFDE with hybrid knowledge transfer，MFDE-HKT）^[13] 等先进算法对比，评估MSMFDE在配料优化问题与多任务基准测试集中的性能提升.

5.1.3 参数设置

所有算法的共同参数N和G分别设置为50和800，MSMFDE算法中r_mu = 0.7，r_cr = 0.5， L和a都设置为 2. 对比算法的其他参数设置与原参考文献一致.

5.1.4 评价指标

本文定义如下指标对配料计划质量进行综合评价.

1）定义精矿利用率Υ衡量资源使用情况.

Υ = \frac{1 - m i n (f_{k, 1}, k = 2, \dots)}{\sum_{m = 1}^{M} s_{m} %};

(20)

2）定义配料计划可用时长t来衡量其持续时间:

t = \sum_{k} t_{k},

(21)

式中t_k为第k阶段的可用时长. 在a_hr不变时，可用时长越大，用矿量越多，则剩余库存越少，表明铜精矿使用程度越高;

3）定义相邻两张配料单的差异γ_k和配料单切换次数ω，以评价配料单波动情况，γ_k和ω表达式如下:

γ_{k} = δ_{k} \times f_{k, 2}, k = 2,3, \dots

(22)

δ_{k} = \{\begin{array}{l} 1, f_{k, 2} < A 和 |δ_{k} - δ_{k - 1}| < B, \\ 0, 其他, \end{array}

(23)

ω = \sum_{k} δ_{k}

(24)

式中δ_k表示第k阶段中配比不为零的铜精矿数量.

事实上，f_k_，2可直观反映配料单更换时铜精矿配比波动， ω可判断整体配料计划的稳定性. 然而，当某矿种耗尽并由成分相近的矿种替代时，相邻两张配料单中某种精矿的配比变化可能使f_k_，2突增，实则并未发生显著波动，难以反映真实的配料一致性. 为此，若相邻两阶段中f_k_，2高于A但两单中非零配比的精矿种类数相差不超过B，则视为一致，令γ_k = 0且不计切换次数; 否则，γ_k = f_k_，2，切换次数加1. 本文根据实际数据情况设A = 400 和B = 3，以

{\bar{γ}}_{k} = a v g (\sum_{k} γ_{k})

，作为最终的评估指标.

4）为了检测统计差异，在0.05 显著性水平上对 MSMFDE和其他对比算法进行Wilcoxon秩和检验，其中‘+’、‘−’和‘≈’分别表示 MSMFDE的表现优于、劣于和类似于对比算法.

5.2 实验结果

5.2.1 模型对比

为验证配料一致性对配料计划质量的提高，本文将所提模型与仅以式（1）为目标函数，式（3）–（8）为约束构成的不考虑一致性配料优化模型对比，并采用DE算法框架，同时引入本文提出的基于SCA变异策略，修复策略和Levy最优扰动策略求解，以确保实验条件一致.

所提算法在求解所提模型时有效性可通过任一阶段验证，比如第2阶段（k =2）. 图5为2种算法在f₂_，1上的迭代曲线. 从图中可以看出，MSMFDE算法在整个迭代过程中始终优于DE，f₂_，1的值更低且收敛更快，表明考虑一致性有助于加快铜精矿消耗，提高资源利用率. 而在未考虑一致性的情况下，f₂_，1在DE算法中始终较高，说明配比波动大，资源利用率低.

图5两种算法在f₂_，1上的迭代曲线

Fig.5Iteration curves of the two algorithms on f₂_{, 1}

为进一步评估其对整体配料计划的影响，本文对比了两种算法的配料计划评价指标和配比结果，并引入人工配料计划作为参考. 图6和表4分别展示了3种方案的指标对比和配比结果，图6中x轴和y轴分别表示配料单编号和铜精矿编号，色块颜色的深浅和数字表明精矿配比大小. 结果表明:

1）加入一致性的考虑后，Υ和t显著增加，且配比波动和切换次数减少. 同时，固定y轴的某种精矿，沿 x轴观察配料结果可见，图6（c）中连续配料单呈现颜色一致、比例相近，表明该精矿配比变化小. 可见，提升配料一致性有助于提高资源利用率，延长用矿时长，进而稳定炉况，保障产品质量;

2）相比之下，未考虑配料一致性时，配料计划的多项指标值和原料配比波动值表现不佳，可能使炉况稳定与冶炼性能下降，不利于稳定生产.

5.2.2 算法对比

1）为保证实验条件相等，所有算法在求解所提模型时均采用本文修复策略处理不可行解. 7种算法在 f_2，1，f_2，2上的配料计划评价指标与迭代曲线分别如表 5和图7所示，图7中x轴和y轴分别代表进化代数和 f_2，1，f_2，2. 根据实验结果，得到如下结论:

a）与其他方法相比，MSMFDE在图7的整个进化过程表现出更快的收敛速度和更优的目标值，同时在表5中的评价指标表现较好，且Wilcoxon秩和检验亦表明其具有显著优势，验证了所提算法在本文模型上的有效性.

b）与MFDE，MFDE/best/1+ρ，SAKT-MFDE和MFDE-HKT 相比，MSMFDE中的基于SCA的变异策略利用正余弦函数的周期性增加了算法在子代生成中的全局探索与局部开发的平衡. 与MFDE-OBT和MFDE-HKT相比，Levy最优扰动策略则在进化后期激发探索能力，打破了算法停滞.

综上，MSMFDE的多策略协同提升了任务间信息交流与收敛性能，表现出良好的求解效率和优化能力.

图63种方法的配比结果

Fig.6Results of ingredient plan obtained by three methods

表43种方法的配料计划评价指标对比

Table4Performance comparison of the three algorithms for ingredient plan

表57种算法的配料计划评价指标对比

Table5Performance comparison of the seven algorithms for ingredient plan

图77种算法在f_2，1，f_2，2上的迭代曲线

Fig.7Iteration curves of the seven algorithms on f_{2, 1}, f_{2, 2}

2）为进一步探究MSMFDE在不同场景下的稳定性，本文在单目标两任务基准问题 ^[21] 上开展了实验，该测试集由7个经典单目标函数配对组合而成，组成 9组多任务优化问题，涵盖3类相交类型（完全相交（complete intersection，CI）、部分相交（partial intersection，PI）以及无相交（no intersection，NI）和3类任务相似度（高相似度（high similarty，HS）、中等相似度（middle similarty，MS）和低相似度（low similarty，LS）. 表6和图8总结了7种算法在不同任务上的平均性能（均值和标准差）和收敛曲线. 可以看出:

a）从图8看出，与其他算法相比，MSMFDE算法在大部分高相似度和中等相似度的问题中具有明显优势，在低相似度问题中稍微逊色. 这是由于高相似度和中相似度的各任务搜索空间存在较高重叠区域或较强的相似特征，这使得基于SCA的差分变异策略在跨任务知识迁移时能获取更加相关和有用的信息，加速了算法收敛并找到更优解. 在进化后期，扰动策略有效避免了算法过早陷入局部极值，提高了算法的探索能力. 因此，在这些任务组中，所提算法通过平衡跨任务信息交流和全局开发与局部探索的关系，表现出较高的优化性能. 而低相似度任务的搜索空间相关性较弱，部分任务间共享的遗传信息会误导进化方向，影响了种群多样性，因此对早期的搜索产生了干扰. 但从图8（e）（f）（k）（i）（q）看到，MSMFDE后期仍然能达到或者接近最优解. 这说明算法在后期逐步平衡了跨任务信息交流和探索与开发之间的关系，仍然有较强的全局优化能力.

b）如表6所示，MSMFDE算法的性能在18个基准问题中的15个上显著优于对比算法. 所有算法的平均排名为依次为4.7，3.7，4.8，4.9，4.3，4.0，1.6，其中MSMFDE算法排名第1. 这充分验证了MSMFDE在大多数测试问题较强的优化能力.

表67种算法在单目标两任务基准问题上的平均性能

Table6The average performance of seven algorithms on single-objective2-task benchmark problems

（转下表）

（接上表）

6 结论与展望

本文结合铜精矿配料的实际约束，建立了以铜精矿剩余量最小化和用矿波动最小化为目标的配料计划优化模型. 随后，提出MSMFDE算法求解所提模型. 其中，算法中使用基于SCA的变异策略，在生成子代个体的过程中，同时实现跨任务的知识转移，旨在确保算法能够在全局搜索与局部开发之间实现一种动态平衡，加速整体优化进程，提升最终解的质量. 同时，Levy最优扰动策略帮助算法跳出当前的局部最优解，继续探索更广阔的解空间. 随后，修复策略以最低的计算成本，在不可行解附近搜索可行个体，提高了算法的搜索速率和解的质量. 最后，基于实际数据的实验结果证明了该模型和方法的高效性和有效性.

此外，与本研究相关的问题值得考虑. 一方面是考虑配料相关的环保性目标，实现绿色生产; 另一方面在未来，为了解决更复杂的多任务优化问题，比如多个优化任务异构，需开展更深入的研究，以更好地应对明显不同的优化任务.

图87种算法在单目标两任务基准问题的收敛曲线

Fig.8Convergence curves of seven algorithms on single-objective2-task benchmark problems

图1铜配料计划优化过程

Fig.1The optimization process of copper ingredient plan

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图2r₁sin r₂的递减过程（r₁ = 2）

Fig.2The decreasing process of r₁sin r₂ (r₁ = 2)

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图3

x_{n}^{g}

的进化路径（r₃ <1）

Fig.3The evolutionary path of

x_{n}^{g}

(r₃ <1)

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图4

x_{n}^{g}

的进化路径（r₃ >1）

Fig.4The evolutionary path of

x_{n}^{g}

(r₃>1)

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图5两种算法在f₂_，1上的迭代曲线

Fig.5Iteration curves of the two algorithms on f₂_{, 1}

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图63种方法的配比结果

Fig.6Results of ingredient plan obtained by three methods

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图77种算法在f_2，1，f_2，2上的迭代曲线

Fig.7Iteration curves of the seven algorithms on f_{2, 1}, f_{2, 2}

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图87种算法在单目标两任务基准问题的收敛曲线

Fig.8Convergence curves of seven algorithms on single-objective2-task benchmark problems

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表1算法1: MSMFDE算法框架

Table1Algorithm 1: Framework of MSMFDE algorithm

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表2混合矿中各元素的品位上下限

Table2Upper and lower boundary for elements in mixed concentrates

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表3配料计划模型参数

Table3Parameters of the ingredient plan model

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表43种方法的配料计划评价指标对比

Table4Performance comparison of the three algorithms for ingredient plan

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表57种算法的配料计划评价指标对比

Table5Performance comparison of the seven algorithms for ingredient plan

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表67种算法在单目标两任务基准问题上的平均性能

Table6The average performance of seven algorithms on single-objective2-task benchmark problems

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图1铜配料计划优化过程

Fig.1The optimization process of copper ingredient plan

图2r₁sin r₂的递减过程（r₁ = 2）

Fig.2The decreasing process of r₁sin r₂ (r₁ = 2)

图3

x_{n}^{g}

的进化路径（r₃ <1）

Fig.3The evolutionary path of

x_{n}^{g}

(r₃ <1)

图4

x_{n}^{g}

的进化路径（r₃ >1）

Fig.4The evolutionary path of

x_{n}^{g}

(r₃>1)

图5两种算法在f₂_，1上的迭代曲线

Fig.5Iteration curves of the two algorithms on f₂_{, 1}

图63种方法的配比结果

Fig.6Results of ingredient plan obtained by three methods

图77种算法在f_2，1，f_2，2上的迭代曲线

Fig.7Iteration curves of the seven algorithms on f_{2, 1}, f_{2, 2}

图87种算法在单目标两任务基准问题的收敛曲线

Fig.8Convergence curves of seven algorithms on single-objective2-task benchmark problems

表1算法1: MSMFDE算法框架

Table1Algorithm 1: Framework of MSMFDE algorithm

表2混合矿中各元素的品位上下限

Table2Upper and lower boundary for elements in mixed concentrates

表3配料计划模型参数

Table3Parameters of the ingredient plan model

表43种方法的配料计划评价指标对比

Table4Performance comparison of the three algorithms for ingredient plan

表57种算法的配料计划评价指标对比

Table5Performance comparison of the seven algorithms for ingredient plan

表67种算法在单目标两任务基准问题上的平均性能

Table6The average performance of seven algorithms on single-objective2-task benchmark problems

图1铜配料计划优化过程

Fig.1The optimization process of copper ingredient plan

图2r₁sin r₂的递减过程（r₁ = 2）

Fig.2The decreasing process of r₁sin r₂ (r₁ = 2)

图3

x_{n}^{g}

的进化路径（r₃ <1）

Fig.3The evolutionary path of

x_{n}^{g}

(r₃ <1)

图4

x_{n}^{g}

的进化路径（r₃ >1）

Fig.4The evolutionary path of

x_{n}^{g}

(r₃>1)

图5两种算法在f₂_，1上的迭代曲线

Fig.5Iteration curves of the two algorithms on f₂_{, 1}

图63种方法的配比结果

Fig.6Results of ingredient plan obtained by three methods

图77种算法在f_2，1，f_2，2上的迭代曲线

Fig.7Iteration curves of the seven algorithms on f_{2, 1}, f_{2, 2}

图87种算法在单目标两任务基准问题的收敛曲线

Fig.8Convergence curves of seven algorithms on single-objective2-task benchmark problems

表1算法1: MSMFDE算法框架

Table1Algorithm 1: Framework of MSMFDE algorithm

表2混合矿中各元素的品位上下限

Table2Upper and lower boundary for elements in mixed concentrates

表3配料计划模型参数

Table3Parameters of the ingredient plan model

表43种方法的配料计划评价指标对比

Table4Performance comparison of the three algorithms for ingredient plan

表57种算法的配料计划评价指标对比

Table5Performance comparison of the seven algorithms for ingredient plan

表67种算法在单目标两任务基准问题上的平均性能

Table6The average performance of seven algorithms on single-objective2-task benchmark problems

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