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连续搅拌反应釜的预定义时间滑模控制

doi: 10.7641/CTA.2024.30831

青岛理工大学信息与控制工程学院, 山东青岛 266500

基金项目: 山东省自然科学基金项目(ZR2025MS1101, ZR2021MF076, ZR2016FB04), 国家自然科学基金项目(201606141), 山东省重点研发项目(2018GHY 115025), 中国博士后面上项目(2018M642611)资助.

详细信息

作者简介

单文悦硕士研究生,从事非线性系统的滑模控制理论及其应用等研究,E-mail: oooeieiei@163.com;

辛丽平副教授,博士,从事复杂系统的智能建模与控制、模式识别与智能检测系统的研究,E-mail: lpxin@qut.edu.cn;

张静硕士研究生,从事非线性系统的有限时间控制及观测器应用等研究,E-mail: 19853256181@163.com;

牛先铎硕士研究生,从事复杂大系统的非线性模型预测控制等研究,E-mail: 1083617370@qq.com;

孙国法副教授,从事非线性系统控制、自抗扰控制研究及应用、动态面、观测器设计等研究,E-mail: sunguofa−bo@163.com.

通信作者

辛丽平，E-mail: lpxin@qut.edu.cn;Tel.:+8617669680692.

Predefined-time sliding mode control of continuous stirred tank reactor

SHAN Wen-yue ， XIN Li-ping ， ZHANG Jing ， NIU Xian-duo ， SUN Guo-fa

School of Information and Control Engineering, Qingdao University of Technology, Qingdao Shandong 266500 , China

Funds: Supported by the Natural Foundation of Shandong Province (ZR2025MS1101, ZR2021MF076, ZR2016FB04), the National Natural Science Foundation of China (201606141), the Key R&D Project of Shandong Province (2018GHY115025) and the General Program of China Postdoctoral Science Foundation (2018M642611).

摘要

连续搅拌反应釜(CSTR)是化工过程工业中常用的反应容器. 为进一步提升CSTR系统的动态性能和静态性能, 本文针对一类含有未知干扰的 CSTR 系统提出一种基于预定义时间的滑模控制算法. 为使CSTR系统在预设时间内稳定, 并解除系统初始状态对稳定时间的约束, 基于预定义时间控制理论建立了系统稳定时间和控制参数的显示关系; 为减小滑模控制器的抖振, 采用tanh函数代替传统符号函数sgn设计控制律; 采用MATLAB仿真实验验证所设计控制方案的有效性和可行性; 通过与现有有限时间控制方法进行仿真结果对比, 检验本文设计方法的优越性. 研究结果表明, 本文方法在保持良好静态性能的同时, 具有更强的抗干扰能力和更快的收敛速度.

关键词

预定义时间控制 / 滑模控制 / 连续搅拌反应釜 / 未知干扰 / 温度控制 / 浓度控制

Abstract

Continuous stirred tank reactor (CSTR) is a common reaction vessel in chemical process industry. In order to further improve the dynamic and static performance of CSTR system, this paper proposes a sliding mode control based on predefined time for a class of CSTR system with unknown disturbance. In order to make the CSTR system stable within the preset time and release the constraint of the initial state of the system on the stability time, the display relationship between the system stability time and the control parameters is established based on the predefined time control theory; In order to reduce chattering of sliding mode controller, tanh function is used instead of sgn function to design control law; MATLAB simulation experiment is used to verify the effectiveness and feasibility of the designed control scheme; Compared with the existing finite time control method, the simulation results verify the superiority of the design method in this paper. The research results show that the method in this paper has stronger anti-disturbance ability and faster convergence speed while maintaining good static performance.

Keywords

predefined time control / sliding mode control / continuous stirred tank reactor / unknown disturbance / temperature control / concentration control

1 引言 2 CSTR系统描述和预备知识 2.1 CSTR的动力学模型 2.2 预备知识 3 控制器设计与分析 3.1 控制目标 3.2 预定义时间滑模控制器设计 3.3 稳定性分析 4 仿真分析 5 结论

1 引言

化工行业在国民经济建设中占据十分重要的地位，如何通过技术升级来提高生产效率以获得更高的经济效益，一直以来都是工业界关注的热点 ^[1] . 连续搅拌釜反应器（continuous stirred tank reactor，CSTR）是化工过程工业中常用的反应容器，它通常在规定的温度下，通过一系列物理和化学反应，将生产原料转化为产品 ^[2] . 从控制的角度看，CSTR 是一个非线性强、复杂度高、灵敏度大的控制对象，具有状态不可测、抗干扰能力差和耦合性强等显著特征. CSTR一般是围绕一个与最优产出或最优生产率相关的平衡点运行的 ^[3]，但当系统受到外界干扰时，CSTR极易偏离指定的工作点，这必将破坏产品质量，造成严重的安全隐患. 因此，有必要研究 CSTR的精准控制算法，为基于 CSTR的实际生产过程提供技术指导 ^[4] .

针对CSTR的精准控制问题，许多研究者提出了不同的控制算法. 针对CSTR系统的控制输入饱和和未知动力学特性，文献 ^[5] 设计了具有建模误差补偿的PI 控制器; 针对CSTR系统的混沌振荡行为，文献 ^[6] 设计了考虑自振荡的PI控制器，但上述两种控制器均需要精确的数学模型，这在实际生产中是难以获得的. 针对CSTR系统的全局稳定性问题，文献 ^[7] 设计了带状态估计的反馈控制器，但控制器的实现需要在线检测系统的完整状态，实际工程中难以实现. 针对CSTR 系统的状态不完全可测问题，文献 ^[8-11] 分别设计了基于高增益变结构观测器的动态输出反馈、精确线性化、反馈线性化控制器以及输入输出线性化控制器，但高增益控制可能导致控制输入饱和，尤其是在初始跟踪误差较大的情况下. 针对CSTR系统的不确定性，文献 ^[12] 设计了模糊PID控制器，虽然抗干扰能力变强，但跟踪输入信号速度慢; 文献 ^[13] 设计了应对故障发生的容错控制器，但仍需要精确的数学模型. 鉴于滑模控制在克服系统不确定性方面和应对干扰和未建模动态方面的优越性，文献 ^[14] 基于事件触发技术设计了CSTR的传统滑模控制; 文献 ^[15] 设计了CSTR 快速终端滑模控制器. 此外，还有其他非线性控制算法应用于 CSTR的精准控制，如CSTR动态面控制 ^[16-17]、CSTR非线性模型预测控制 ^[18-21] 等.

上述控制算法虽然在某个维度取得了令人满意的效果，但它们主要都是为解决CSTR的精准控制问题的. 随着实际工程对控制性能的要求越来越高，许多研究学者开始就如何提高系统收敛时间开展研究. 首先提出了CSTR的有限时间控制算法 ^[22-24]，这类控制算法能使系统被控量在有限时间内跟踪给定值，但系统的收敛时间依赖系统的初始状态，当初始状态远离系统的平衡状态时，会导致系统的收敛时间变慢. 文献 ^[25] 提出了CSTR固定时间模糊自适应控制算法，该方法解决了系统收敛时间受系统初始状态影响的问题，使系统的收敛时间仅由控制参数决定，但控制参数和固定收敛时间之间未建立显式表示的关系.

随着研究的深入，在固定时间的基础上，出现了预定义时间控制算法 ^[26-29]，相对于固定时间控制算法，该算法可以通过控制参数实现显式的调优. 滑模控制是一种能够使系统沿着所设计的滑模面进行运动的控制器，相较于传统PID等控制器，滑模控制器具有鲁棒性强的优点. 将预定义时间控制与滑模控制相结合可以提高系统的鲁棒性和稳定时间. 许多研究学者将预定义时间滑模控制进行推广应用，文献 ^[30] 针对分数阶系统设计了一种预定义时间滑模控制器，使分数阶系统可以在预定义的时间内收敛到原点; 文献 ^[31] 针对混沌系统设计预定义时间滑模控制器提升了系统的收敛时间保证系统的鲁棒性; 文献 ^[32] 为刚性航天器设计了一种预定义时间滑模控制器以实现姿态跟踪控制. 因此，本文采用预定义时间控制技术实现CSTR的快速精准控制，将预定义时间控制推广到 CSTR控制领域，使系统的被控变量在用户定义的时间内快速准确地跟踪给定值，且系统的收敛时间不依赖于其初始状态变量.

本文基于预定义时间控制和滑模控制算法设计控制器，主要研究内容: 利用预定义时间控制技术使CSTR系统的收敛时间受控制参数控制，从而解除收敛时间对初始状态的依赖，进一步建立收敛时间和控制参数间的显示关系，实现控制系统的显式调优; 为减小滑模控制器的系统抖振，采用tanh函数代替传统符号函数sgn设计控制律; 基于Lyapunov定理证明系统的稳定性; 通过MATLAB仿真实验证明所提出控制方案的有效性和可行性. 与现有CSTR控制方法相比，本方法的主要优势如下：

1）首次将预定义时间控制理论应用到CSTR控制领域. 基于预定义时间滑模控制算法建立了CSTR系统收敛时间和控制器参数间的显示关系，使系统的收敛时间可以由用户预先设置，解除了系统初始状态对系统收敛时间的影响，使系统收敛时间与初始状态无关;

2）与现有控制器相比，CSTR预定义时间滑模控制器使系统具有更快的收敛速度和更强的鲁棒性，且控制器结构简单，更易于工程实践.

2 CSTR系统描述和预备知识

2.1 CSTR的动力学模型

考虑一阶、不可逆的化学反应过程，物料A以流量 F、温度T_f和浓度C_Af进入容积为V 的CSTR中，在催化剂作用下发生一级放热不可逆反应: A → B + ∆H，出口物料的相应量分别为流量 F、反应物温度 T和反应物浓度C_A. 由于反应过程连续，它们的进出口流量是相同的，均为F. 夹套的冷却剂入口流量为F_c，入口温度为 T_c，冷却剂出口流量为 F_jc，出口温度为 T_jc. CSTR示意图如图1所示.

考虑CSTR的实际工作情况，做以下假设 ^[33] :

假设 1 反应器内的物料混合完全.

假设 2 反应物质具有恒定的密度和容量.

假设 3 反应前后，反应器内的物料总体积不变.

在上述假设的基础之上，通过能量守恒、质量守恒原理，建立如式（1）所示的数学模型:

\frac{d C_{A}}{d t_{d}} = \frac{F}{V} (C_{A f} - C_{A}) - k_{0} C_{A} e x p (- \frac{E}{R T}),

\frac{d T}{d t_{d}} = \frac{F}{V} (T_{f} - T) + \frac{(- Δ H)}{ρ C_{p}} k_{0} C_{A} e x p (- \frac{E}{R T}) -

\frac{U A}{ρ V C_{p}} (T - T_{c}) .

(1)

图1CSTR示意图

Fig.1Schematic of CSTR system

模型中各符号所代表的物理量含义如表1所示.

表1连续搅拌反应釜系统中各符号含义

Table1The variable meaning of CSTR

为方便控制器的设计，对系统（1）进行归一化和无量纲化处理，处理后如式（2）所示，各变量含义如表2所示.

\{\begin{array}{l} {\dot{x}}_{1} = - x_{1} + D_{a} (1 - x_{1}) \exp \frac{x_{2}}{1 + \frac{x_{2}}{γ}}, \\ {\dot{x}}_{2} = - x_{2} + B D_{a} (1 - x_{1}) \exp \frac{x_{2}}{1 + \frac{x_{2}}{γ}} - \\ β (x_{2} - x_{2 c}) + β u + d_{2}, \\ y = x_{2}, \end{array}

(2)

其中: x₁，x₂是系统状态变量; y是系统输出，表示反应物温度; 参数 d₂ ≤ D₂是系统的有界扰动.

注 1 选择反应物温度作为系统输出主要有两方面原因: 1）浓度难以甚至无法直接测量; 2）在实际工业环境中，控制温度可以避免反应器的二次反应，因此，温度控制变得更为关键.

表2模型中的无量纲参数

Table2Dimensionless parameters in the model

对式（2）给出的状态方程进行函数描述为

\{\begin{array}{l} {\dot{x}}_{1} = f_{1} (x_{1}, x_{2}) \\ {\dot{x}}_{2} = f (x_{1}, x_{2}) + β u + d_{2} \end{array}

(3)

2.2 预备知识

引理 1 ^[34] 考虑如下不确定动力学系统:

\dot{x} = f (t, x, d),

(4)

其中:

x \in R^{n}

是系统状态变量，d ∈

R

^m是未知但有界的扰动. f :

R

₊ ×

R

ⁿ×

R

^m →

R

ⁿ是一个非线性函数. 对于系统（4），如果存在一个径向无界的李雅普诺夫函数 V （x），满足式（5），即

\dot{V} (x) = - \frac{π}{η T_{c} \sqrt{α β}} (α V^{1 - \frac{η}{2}} + β V^{1 + \frac{η}{2}}) + ϵ,

(5)

其中: T_c >0是预定义常数; η， ϵ，α，β是常数参数且满足 η ∈（0，1），0 ≤ ϵ <∞，α >0，β >0，则系统的轨迹是实际预定义时间稳定的，对于系统（4）的任意解 x（t，x₀），其解的残差集可以由式（6）表示，即

\begin{matrix} \underset{t \to T_{p c}}{l i m} x ∣ V (x) ⩽ \\ m i n \{{(\frac{ϵ η T_{c} \sqrt{α β}}{π α (1 - μ)})}^{\frac{2}{2 - η}}, {(\frac{ϵ η T_{c} \sqrt{α β}}{π β (1 - μ)})}^{\frac{2}{2 + η}}\} \end{matrix}

(6)

其中: µ为常数，0<µ<1; 调节时间

T_{p c} = \frac{T_{c}}{\sqrt{μ}}

3 控制器设计与分析

3.1 控制目标

控制方案的主要目标描述为: 设计一个预定义时间滑模控制器，使CSTR系统能够在预定义的时间内让x₂（即反应物温度）稳定到期望温度值x_2d，且x₁（即反应物浓度）稳定到实际浓度值.

3.2 预定义时间滑模控制器设计

利用滑模控制方案进行预定义时间滑模控制器的设计，需要考虑以下两个阶段:

1）到达阶段.

该阶段要求设计的控制律能够在预定义的时间内将系统的跟踪误差驱动到定义的滑模面上;

2）滑动阶段.

该阶段要求滑模运动在预定义时间内使得跟踪误差收敛为零，并在之后保持稳定，即滑动阶段的预定义时间稳定性（s = 0）应该得到保证. 具体步骤如下:

步骤 1 定义温度误差

e = x_{2} - x_{2 d}

(7)

其中x_2d为期望温度值.

步骤 2 定义误差的Lyapunov函数为

V_{1} = \frac{1}{2} e^{2},

(8)

对其求导得

{\dot{V}}_{1} = e \dot{e} = e {\dot{x}}_{2} .

(9)

步骤 3 定义滑模面函数为

s = x_{2} + Ψ

(10)

其中:

Ψ = \int \frac{π}{2 η_{1} T_{c 1} \sqrt{α_{1} β_{1}}} (α_{1} V_{1}^{- \frac{η_{1}}{2}} + β_{1} V_{1}^{\frac{η_{1}}{2}}) e d t; α_{1} ，

β₁，η₁是3个常数，且满足α₁ >0，β₁ >0，0<η₁ <1; T_c1是滑动阶段的预定义时间.

步骤 4 定义滑模面的Lyapunov函数为

V_{2} = \frac{1}{2} s^{2}

(11)

对其求导再将式（10）代入可得

\begin{matrix} {\dot{V}}_{2} = s \dot{s} = s ({\dot{x}}_{2} + \dot{Ψ}) = \\ s [f (x_{1}, x_{2}) + β u + d_{2} + \dot{Ψ}] . \end{matrix}

(12)

为了使滑模面函数在预定义时间内收敛，设控制律为

\begin{matrix} u = β^{- 1} (- f (x_{1}, x_{2}) - \dot{Ψ} - f_{d} - \\ \frac{1}{2} s \frac{π}{η_{2} T_{c 2} \sqrt{α_{2} β_{2}}} (α_{2} V_{2}^{- \frac{η_{2}}{2}} + β_{2} V_{2}^{\frac{η_{2}}{2}})) . \end{matrix}

(13)

其中: T_c2 是到达阶段的预定义时间; f_d = D₂ ×

t a n h (s \frac{D_{2}}{ω})

是扰动的补偿项，ω是大于零的常数. 为进一步削弱系统抖振，采用反正切函数tanh来代替传统符号函数sgn.

3.3 稳定性分析

稳定性分析亦分为两部分: 滑动阶段稳定性分析和到达阶段稳定性分析.

1）证明滑动阶段系统稳定.

当系统到达滑动阶段后，滑模面函数满足 s = 0，因此，式（10）可以转换为

\begin{matrix} x_{2} = - Ψ = \\ - \int \frac{π}{2 η_{1} T_{c 1} \sqrt{α_{1} β_{1}}} (α_{1} V_{1}^{- \frac{η_{1}}{2}} + β_{1} V_{1}^{\frac{η_{1}}{2}}) e d t \end{matrix}

(14)

将式（14）代入式（9）得

\begin{matrix} {\dot{V}}_{1} = e \dot{e} = - e \dot{Ψ} = \\ - \frac{π}{η_{1} T_{c 1} \sqrt{α_{1} β_{1}}} (α_{1} V_{1}^{1 - \frac{η_{1}}{2}} + β_{1} V_{1}^{1 + \frac{η_{1}}{2}}) . \end{matrix}

(15)

通过引理1可知，滑动阶段预定义时间稳定，误差 e将在预定义时间T_c1内收敛到0.

2）证明到达阶段系统稳定.

将控制律（13）代入式（12）得

\begin{matrix} {\dot{V}}_{2} = s \dot{s} = \\ s (d_{2} - f_{d} - \frac{1}{2} s \frac{π}{η_{2} T_{c 2} \sqrt{α_{2} β_{2}}} (α_{2} V_{2}^{- \frac{η_{2}}{2}} + β_{2} V_{2}^{\frac{η_{2}}{2}})) = \\ - \frac{π}{η_{2} T_{c 2} \sqrt{α_{2} β_{2}}} (α_{2} V_{2}^{1 - \frac{η_{2}}{2}} + β_{2} V_{2}^{1 + \frac{η_{2}}{2}}) + s d_{2} - \end{matrix}

\begin{matrix} s D_{2} t a n h \frac{s D_{2}}{ω} ⩽ \\ - \frac{π}{η_{2} T_{c 2} \sqrt{α_{2} β_{2}}} (α_{2} V_{2}^{1 - \frac{η_{2}}{2}} + β_{2} V_{2}^{1 + \frac{η_{2}}{2}}) + s D_{2} - \end{matrix}

s D_{2} t a n h \frac{s D_{2}}{ω}

(16)

根据不等式

0 ⩽ | ν | - ν t a n h \frac{ν}{ϵ} ⩽ ζ ϵ

（其中:

ν \in R ，

ϵ>0，ζ满足ζ = e⁻^ζ⁻¹，即ζ = 0.278 5），式（17）可以被改写为

\begin{matrix} {\dot{V}}_{2} ⩽ \\ - \frac{π}{η_{2} T_{c 2} \sqrt{α_{2} β_{2}}} (α_{2} V_{2}^{1 - \frac{η_{2}}{2}} + β_{2} V_{2}^{1 + \frac{η_{2}}{2}}) + ζ ω = \\ - \frac{π}{η_{2} T_{c 2} \sqrt{α_{2} β_{2}}} (α_{2} V_{2}^{1 - \frac{η_{2}}{2}} + β_{2} V_{2}^{1 + \frac{η_{2}}{2}}) + σ, \end{matrix}

(17)

其中σ = ζω. 因为 σ有界，根据引理1，到达阶段是实际预定义时间稳定的，s可以在预定义的时间收敛到原点附近小邻域内.

综上所述，系统在T_c1 + T_c2内达到平衡状态.

注 2 从式（13）（15）–（17）可以得知，其收敛时间由T_c1 和 T_c2决定，控制律是和T_c1，T_c2 有关的表达式，先行规定设置两个参数的值，通过调参使状态轨迹在我们所规定的时间内达到稳定状态，保证系统的控制性能. 与有限时间系统相比，收敛时间与初始状态无关. 与固定时间相比，收敛时间有显式表示，调参更加简便. 这些特点使得预定义时间策略更有利于工程应用.

注 3 不等式

0 ⩽ | ν | - ν t a n h \frac{ν}{ϵ} ⩽ ζ ϵ

（其中: ν ∈

R

，ϵ >0，ζ 满足 ζ = e⁻^ζ⁻¹，即ζ = 0.278 5）的证明过程如下:

证因为

| t a n h x | = |\frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}| = |1 - \frac{2}{e^{2 x} + 1}| ⩽ 1,

(18)

所以

|ν t a n h \frac{ν}{ϵ}| ⩽ | ν | .

(19)

可得

| ν | - ν t a n h \frac{ν}{ϵ} ⩾ 0 .

(20)

不等式左端成立.

下证

| ν | - ν t a n h \frac{ν}{ϵ} ⩽ ζ ϵ,

(21)

两边同除ϵ，并令

x = \frac{ν}{ϵ} ，

可知只要证明

| x | - x t a n h x ⩽ ζ, \forall x \in R .

(22)

先设x >0，将 tanh x =

\frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}

代入上式，并且两边同乘 e^x + e^−x，只要证明

x (e^{x} + e^{- x}) - x (e^{x} - e^{- x}) ⩽ ζ (e^{x} + e^{- x}),

(23)

2 x ⩽ ζ (e^{2 x} + 1) .

(24)

令 t = 2x得

t ⩽ ζ (e^{t} + 1)

(25)

令 y =

\frac{t}{e^{t} + 1} ，

则

\dot{y} = \frac{e^{t} + 1 - t e^{t}}{{(e^{t} + 1)}^{2}} = \frac{(1 - t) e^{t} + 1}{{(e^{t} + 1)}^{2}}, t ⩾ 0 .

(26)

令 z =（1 − t）e^t + 1，则

\dot{z}

= −te^t ≤ 0

当t = 1时，z = 1 >0; t = 2时，z = 1 − e² <0.

故存在唯一的 t₀ ∈（1，2），使得

\dot{y}

（t₀）= 0.

故 y 在 t = t₀ 处达到最大值，其中 t₀ 满足（1 − t₀）

e^{t_{0}}

+ 1 = 0. 整理得

t_{0} = e^{- t_{0}} + 1,

(27)

两端同时乘以−1后取对数得

e^{- t_{0}} = e^{- e^{- t_{0}} - 1}

(28)

令ζ =

e^{- t_{0}}

，上式变为

ζ = e^{- ζ - 1}

(29)

故当 x >0时，不等式成立.

当 x <0时，tanh x是奇函数，故证明过程同上.

综上所述，对于

ν \in R ， ϵ > 0 ，

不等式

0 ⩽ | ν | - ν t a n h \frac{ν}{ϵ} ⩽ ζ ϵ

成立，ζ满足 ζ = e⁻^ζ⁻¹ . 证毕.

4 仿真分析

为了验证所提控制策略的可行性和有效性，本文基于MATLAB/simulink搭建了连续搅拌反应釜的预定义时间滑模控制系统. 连续搅拌反应釜的模型参数取B = 8， D_a= 0.078，γ = 20，β = 0.3，x_2c = 0. 在文献 ^[35] 中，已经证明连续搅拌反应釜系统有多个稳态平衡点，选取其中一个平衡点（x₁，x₂）=（0.447 2，2.751 7）进行仿真分析，只要仿真结果显示x₁，x₂收敛至平衡点附近，即可验证本文提出的控制算法是有效可行的. 控制器参数如表3所示. 不考虑系统干扰时设置扰动量 d₂ = 0，扰动上限D₂ = 0; 考虑系统干扰时设置扰动量 d₂ = 0.037 sin（0.1t），设置扰动上限D₂ = 2. CSTR控制系统的仿真结果如图2–5所示.

表3控制器参数表

Table3Controller parameter table

图2CSTR系统的浓度响应曲线

Fig.2Concentration responses of CSTR system

图3CSTR系统的温度响应曲线

Fig.3Temperature responses of CSTR system

图2是CSTR系统在预定义滑模控制器作用下浓度的响应曲线，在有干扰和无干扰情况下，系统的浓度均能较快稳定到平衡状态; 系统考虑干扰信号后，系统浓度的响应曲线与无干扰情况相比并未发生较大变化，由于未直接对x₁设置误差跟踪，x₁的实际稳定值可能会与所设置的平衡点存在些许静态误差（误差值在 0.017 左右）. 图3是CSTR系统在预定义滑模控制器作用下温度的响应曲线，在有干扰和无干扰情况下，温度也能较快稳定到平衡状态; 考虑干扰时系统在0.1 s前有较短的小幅振荡（振幅小于0.002），与无干扰情况相比并未发生较大变化. 由图2–3可见，预定义时间滑模控制器对考虑干扰信号的CSTR系统的控制效果与对不考虑干扰信号的CSTR系统的控制效果相当，这说明本文提出的CSTR预定义时间滑模控制器具有很强的抗干扰能力.

图4是系统的控制输入曲线，在有无干扰两种情况下，控制输入是平滑的，均未产生较大抖振（振幅在8左右）. 图5是系统的滑模面函数变化曲线，在有干扰和无干扰情况下滑模面的函数曲线均在1 s（T_c2 = 1 s）内收敛，符合本文的控制目标.

图4CSTR系统的控制输入曲线

Fig.4Control inputs of CSTR system

图5CSTR系统的滑模面函数曲线

Fig.5Sliding mode surfaces of CSTR system

为了验证不同初始状态下的预定义时间收敛情况和滑模面函数到达情况，选取如下3组初始状态不同的状态变量作为对比:

情况 1 x₁（0）= −0.8，x₂（0）= 0.8;

情况 2 x₁（0）= −2，x₂（0）= 2;

情况 3 x₁（0）= −3.2，x₂（0）= 3.2.

3 种不同初始状态变量情况下的仿真结果如图6–8所示. 由图6–7可知，在预定义时间滑模控制器的作用下，不同初始状态情况下的浓度状态稳定到平衡状态所需要的时间基本一致（相差不超过10⁻⁴ s），温度状态稳定到平衡状态的时间也基本一致（相差不超过10⁻³ s）. 图8是不同初始变量下滑模面函数的仿真结果，可以看到在不同初始状态下，滑模面函数均在 1 s内到达滑模面. 由此可见，预定义滑模控制器可使 CSTR系统的状态变量稳定到平衡状态所需的时间（收敛时间）不受系统初始状态的影响.

为了进一步彰显本文设计的CSTR预定义时间滑模控制器的优越性，将本文所设计的控制器与有限时间滑模控制器相比较. 设置初始状态为x₁（0）= −0.8，x₂（0）= 0.8，两种控制器在仿真过程中均考虑系统干扰，扰动量均设置为 d₂ = 0.037 sin（0.1t），设置扰动上限 D₂ = 2. 预定义时间滑模控制器的参数设计如表3所示，有限时间滑模控制器参考文献 ^[22] . 两种控制器的仿真对比图如图9–11所示.

图6CSTR系统的浓度曲线对比

Fig.6Comparison of concentrations of CSTR system

图7CSTR系统的温度曲线对比

Fig.7Comparisons of temperature of CSTR system

图8CSTR系统的滑模面函数曲线对比

Fig.8Comparisons of sliding mode surface function of CSTR system

图9–10描述了两种控制器的状态变量随时间的变化. 图9可知在预定义时间控制下，浓度曲线在2 s左右达到稳定，而有限时间控制下则在7 s左右达到稳定. 图10可知温度曲线在0.2 s左右达到稳定，而有限时间控制下则在7 s左右达到稳定，有限时间需要更长的调节时间才能使系统状态稳定到平衡状态，说明预定义时间滑模控制比有限时间滑模控制具有更好的收敛速度.

图9预定义时间控制和有限时间控制的CSTR浓度曲线

Fig.9Concentrations of CSTR system with predefined time control and finite time control

图10预定义时间控制和有限时间控制的CSTR温度曲线

Fig.10Temperature of CSTR system with predefined time control and finite time control

图11是系统的控制输入曲线，有限时间控制的抖振现象总体上比预定义时间控制要更明显，在6 s后有限时间出现了明显抖振，说明预定义时间滑模控制比有限时间滑模控制控制输入更加平滑.

5 结论

针对干扰未知的连续搅拌反应釜系统的精准控制问题，本文提出了一种预定义时间滑模控制算法. 本方法建立了系统稳定时间和控制参数的显示关系，可实现CSTR系统的显示调优，能使CSTR系统的状态在预定义的时间内稳定到平衡状态，且稳定时间不受系统初始状态的影响. 通过仿真对比实验，验证了本文方法具有更优越的动态性能和静态性能–抗干扰的能力强、收敛速度快、控制精度高.

图11预定义时间控制和有限时间控制的CSTR控制输入曲线

Fig.11Control inputs of CSTR system with predefined time control and finite time control

图1CSTR示意图

Fig.1Schematic of CSTR system

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图2CSTR系统的浓度响应曲线

Fig.2Concentration responses of CSTR system

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图3CSTR系统的温度响应曲线

Fig.3Temperature responses of CSTR system

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图4CSTR系统的控制输入曲线

Fig.4Control inputs of CSTR system

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图5CSTR系统的滑模面函数曲线

Fig.5Sliding mode surfaces of CSTR system

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图6CSTR系统的浓度曲线对比

Fig.6Comparison of concentrations of CSTR system

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图7CSTR系统的温度曲线对比

Fig.7Comparisons of temperature of CSTR system

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图8CSTR系统的滑模面函数曲线对比

Fig.8Comparisons of sliding mode surface function of CSTR system

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图9预定义时间控制和有限时间控制的CSTR浓度曲线

Fig.9Concentrations of CSTR system with predefined time control and finite time control

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图10预定义时间控制和有限时间控制的CSTR温度曲线

Fig.10Temperature of CSTR system with predefined time control and finite time control

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图11预定义时间控制和有限时间控制的CSTR控制输入曲线

Fig.11Control inputs of CSTR system with predefined time control and finite time control

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表1连续搅拌反应釜系统中各符号含义

Table1The variable meaning of CSTR

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表2模型中的无量纲参数

Table2Dimensionless parameters in the model

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表3控制器参数表

Table3Controller parameter table

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图1CSTR示意图

Fig.1Schematic of CSTR system

图2CSTR系统的浓度响应曲线

Fig.2Concentration responses of CSTR system

图3CSTR系统的温度响应曲线

Fig.3Temperature responses of CSTR system

图4CSTR系统的控制输入曲线

Fig.4Control inputs of CSTR system

图5CSTR系统的滑模面函数曲线

Fig.5Sliding mode surfaces of CSTR system

图6CSTR系统的浓度曲线对比

Fig.6Comparison of concentrations of CSTR system

图7CSTR系统的温度曲线对比

Fig.7Comparisons of temperature of CSTR system

图8CSTR系统的滑模面函数曲线对比

Fig.8Comparisons of sliding mode surface function of CSTR system

图9预定义时间控制和有限时间控制的CSTR浓度曲线

Fig.9Concentrations of CSTR system with predefined time control and finite time control

图10预定义时间控制和有限时间控制的CSTR温度曲线

Fig.10Temperature of CSTR system with predefined time control and finite time control

图11预定义时间控制和有限时间控制的CSTR控制输入曲线

Fig.11Control inputs of CSTR system with predefined time control and finite time control

表1连续搅拌反应釜系统中各符号含义

Table1The variable meaning of CSTR

表2模型中的无量纲参数

Table2Dimensionless parameters in the model

表3控制器参数表

Table3Controller parameter table

图1CSTR示意图

Fig.1Schematic of CSTR system

图2CSTR系统的浓度响应曲线

Fig.2Concentration responses of CSTR system

图3CSTR系统的温度响应曲线

Fig.3Temperature responses of CSTR system

图4CSTR系统的控制输入曲线

Fig.4Control inputs of CSTR system

图5CSTR系统的滑模面函数曲线

Fig.5Sliding mode surfaces of CSTR system

图6CSTR系统的浓度曲线对比

Fig.6Comparison of concentrations of CSTR system

图7CSTR系统的温度曲线对比

Fig.7Comparisons of temperature of CSTR system

图8CSTR系统的滑模面函数曲线对比

Fig.8Comparisons of sliding mode surface function of CSTR system

图9预定义时间控制和有限时间控制的CSTR浓度曲线

Fig.9Concentrations of CSTR system with predefined time control and finite time control

图10预定义时间控制和有限时间控制的CSTR温度曲线

Fig.10Temperature of CSTR system with predefined time control and finite time control

图11预定义时间控制和有限时间控制的CSTR控制输入曲线

Fig.11Control inputs of CSTR system with predefined time control and finite time control

表1连续搅拌反应釜系统中各符号含义

Table1The variable meaning of CSTR

表2模型中的无量纲参数

Table2Dimensionless parameters in the model

表3控制器参数表

Table3Controller parameter table

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