关于分布参数系统最佳调节器的稳定裕度

MARGIN OF STABILITY FOR THE OPTIMAL REGULATOR OF DISTRIBUTED PARAMETER SYSTEMS

中文摘要

      本文直接证明 定理 假设 1. x（?）是dx（t）/dt=Ax（t）+Bu（t），x（0）=x0的mild解，其中A是Hilbert空间X上的强连续半群eAt（t≥0）的母元，u（?）∈L2（[0，+∞]，Z），B∈L(Z,X); 2. 当∫∞0║u（t）║2dt<+∞和∫∞0║Lx（t）║2dt<+∞时 ∫+∞0║x（t）║2dt<+∞； 3. P≥0满足ATP+PA+LTL-PBR-1BTP=0和 ∫+∞0║e（A-BR-1BTP）t║2dt<+∞，其中R≥0； 4. n(?)：Z→Z是强连续的，且存在k≥0和β>0使得 ∫+∞0║n（u（t））║2dt≤k∫+∞0║u（t）║2dt， 1+β/2∫+∞0dt≤∫+∞0dt. 那末方程dx^（t）/dt=Ax^(t)+Bn(-R-1BTPx^(t))的mild解是渐近稳定的。

英文摘要

      The following theorem is proved directly. Theorem Assume that 1. x（t）is the mild solution of equation dx（t）/dt=Ax（t）+Bu（t），x（0）=x0, where A is the infinitesimal generator of a strongly continuous semigroup eAt（t≥0）on Hilbert space X, u（?）∈L2（[0，+∞]，Z）and B∈L(Z,X); 2. ∫∞0║u（t）║2dt<+∞ and ∫∞0║Lx（t）║2dt<+∞imply ∫+∞0║x（t）║2dt<+∞； 3. P≥0satisfies ATP+PA+LTL-PBR-1BTP=0 and ∫+∞0║e（A-BR-1BTP）t║2dt<+∞， where R≥0； 4. n(?)：Z→Z continuous and there exist constants k≥0 and β>0 such that ∫+∞0║n（u（t））║2dt≤k∫+∞0║u（t）║2dt， 1+β/2∫+∞0dt≤∫+∞0dt. Then the mild solution of equation dx^（t）/dt=Ax^(t)+Bn(-R-1BTPx^(t)) is asymptotically stable. This theorem has been pointed out by Tolle, but there are some mistakes in the proof of Tolle.